题解 P2679 【子串】
frankchenfu
2018-02-22 21:38:35
看到各位DP数组都只开两三维的我很害怕啊，我来讲一讲如何很暴力的做这道题。
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### 状态
首先我们考虑设计状态。我们发现，为了保证无后效性的一位一位往后推，我们需要记录当前推到$a$串的哪一个位置了；接着还有记录匹配了$b$串的那几个字符。因为是按照原串顺序，所以相当于是即匹配$b$的前几个字符。有这些还不够，我们还要记录划分了几个子串。最后，为了便于转移，我们还要标记一维`0/1`状态，表示$a$串中的第$i$个字符是否选入。
这样，我们就设计好了状态。我们记$f_{i,j,p,v}$表示到$a$串的第$i$个位置为止使用$p$个子串匹配$b$串前$j$位字符且第$i$个位置选或不选（$v$）的方案数。
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### 转移
设计好状态，不会转移怎么行。我们分情况考虑。
1. 当$a_i=b_j$时：
1. $f_{i,j,p,0}$：由于这位不选，所以就是前面一位选和不选方案数之和，即$f_{i,j,p,0}=f_{i-1,j,p,0}+f_{i-1,j,p,1}$。
2. 容易得到$f_{i,j,p,1}=f_{i-1,j-1,p,1}+f_{i-1,j-1,p-1,0}+f_{i-1,j-1,p-1,1}$.
2. 当$a_i\ne b_j$时：
1. 不选情况同上，即$f_{i,j,p,0}=f_{i-1,j,p,0}+f_{i-1,j,p,1}$.
2. 由于选不了，自然就是$0$，即$f_{i,j,p,1}=0$.
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### 优化空间
如果你读完状态设计之后又稍微思考就会发现，空间可能较大。空间不够怎么办？在luogu还好说，如果真的在NOIP，应该是不敢开$1000\times200\times200\times2=8\times10^7$的数组吧。所以我们观察转移方程，发现每次转移只用到了前一位！于是我们把第一维很愉快地滚掉了。这样，空间复杂度就保证是$O(mk)$了。那么时间呢？时间是$O(n\cdot mk)$，但是时间不像空间，这个复杂度是可以接受的。于是，完整算法就结束了。
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`Cpp`代码：
```cpp
#include<cstdio>
#include<cstring>
const int MAXN=1010;
const int MAXM=210;
const int MOD=(int)(1e9)+7;
int f[2][MAXM][MAXM][2];
char a[MAXN],b[MAXM];
int n,m,k;bool val=1;
void dp(){
f[0][0][0][0]=f[1][0][0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++,val^=1)
for(int j=1;j<=m;j++)
for(int p=1;p<=k;p++){
if(a[i]==b[j]){
f[val][j][p][0]=(f[val^1][j][p][0]+f[val^1][j][p][1])%MOD;
f[val][j][p][1]=(f[val^1][j-1][p][1]+\
(f[val^1][j-1][p-1][0]+f[val^1][j-1][p-1][1])%MOD)%MOD;
}
else{
f[val][j][p][0]=(f[val^1][j][p][0]+f[val^1][j][p][1])%MOD;
f[val][j][p][1]=0;
}
}
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
scanf("%s%s",a+1,b+1);
dp();
printf("%d\n",(f[n&1][m][k][0]+f[n&1][m][k][1])%MOD);
return 0;
}
```